Không gian vector

Cấu trúc chính của đại số tuyến tính là các không gian vector. Một không gian vector trên trường số F là một tập V kèm theo phép toán hai ngôi. Các phần tử trong V gọi là những vector, các phần tử trong F gọi là vô hướng. Phép toán đầu tiên là phép cộng vector, cộng 2 vector v và w cho ra một vector thứ 3 v + w. Phép toán thứ hai là phép nhân một vô hướng a với bất kỳ vector v nào và kết quả cho ra một vector mới av, phép toán này gọi là phép nhân vô hướng của v với a.Các phép nhân và cộng trong không gian vector phải thỏa mãn các tiên đề sau,[1] với u, v và w là các vector trong tập V, a và b là các vô hướng trong trường số F.

Tiên đề	Công thức biểu diễn
Tính kết hợp của phép cộng	u + (v + w) = (u + v) + w
Tính giao hoán của phép cộng	u + v = v + u
Phần tử trung hòa của phép cộng	Tồn tại một phần tử 0 ∈ V, sao cho v + 0 = v với mọi v ∈ V.
Phần tử nghịch đảo của phép cộng	Với mọi v ∈ V, tồn tại một phần tử −v ∈ V, gọi là phần tử nghịch đảo của v, sao cho v + (−v) = 0
Tính phân phối của một phép nhân vô hướng với một phép cộng vector	a(u + v) = au + av
Tính phân phối của một phép nhân vô hướng với một phép cộng vô hướng	(a + b)v = av + bv
Phép nhân vô hướng kết hợp với phép nhân trong trường các số vô hướng	a(bv) = (ab)v [nb 1]
Phần tử đơn vị trong phép nhân vô hướng	1v = v, với 1 là phần tử đơn vị của phép nhân trong trường số F.

Ánh xạ tuyến tính

Cho 2 không gian vector V và W trên trường F, một biến đổi tuyến tính (còn gọi là ánh xạ tuyến tính) là một ánh xạ:

T : V → W {\displaystyle T:V\to W}

có tính kết hợp với phép cộng và phép nhân vô hướng:

T ( u + v ) = T ( u ) + T ( v ) , T ( a v ) = a T ( v ) {\displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v),\quad T(av)=aT(v)}

với mọi vector u,v ∈ V và một vô hướng a ∈ F.